二次函数的公式/结论都有哪些？

每个确定的二次函数的图像都会有三个平面上的定点来确定，也就是平面上任意三个定点，若满足任意两点的横坐标不相等且三点不共线，则存在一个二次函数经过这三点。而如果在二次函数通式 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c 中给定一定的参数，则某些二次函数的运动轨迹就会被确定。

一、一次项含参的二次函数

我们知道，在函数 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c 中，a影响函数的开口方向和开口大小，c影响函数与y轴的交点，那么，b会对函数产生什么样的影响呢？

对于任意的二次函数 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c 为常数且y=ax2+bx+c(a,c为常数且a,c≠0)y=ax^2+bx+c(a,c为常数且a,c\ne0)为常数且(a,c为常数且a,c≠0)(a,c为常数且a,c\ne0) ，它的顶点坐标运动轨迹是什么样的？最基本的，可以通过列表描点的方法在坐标系中描出动点A(−b2a,4ac−b24a)A\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right) 的点集，我们大致发现A的轨迹是一个二次函数的图像，开口方向与原函数相反。

结论1.1：对于任意的二次函数 为常数且y=ax2+bx+c(a,c为常数且a,c≠0)y=ax^2+bx+c(a,c为常数且a,c\ne0) ，函数顶点恒在函数 y=−ax2+cy=-ax^2+c 上

证明：将代入得：即点在函数图像上证明：将x=−b2a代入y=−ax2+c得：y=−a(−b2a)2+c即y=b24a+c=4ac−b24a∴点(−b2a,4ac−b24a)在函数y=−ax2+c图像上证明：将x=-\frac{b}{2a}代入y=-ax^2+c\\得： y=-a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2+c\\ 即y=\frac{b^2}{4a}+c=\frac{4ac-b^2}{4a}\\ ∴点\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)在函数y=-ax^2+c图像上

∴函数 为常数且y=ax2+bx+c(a,c为常数且a,c≠0)y=ax^2+bx+c(a,c为常数且a,c≠ 0) 的顶点恒在函数 y=−ax2+cy=-ax^2+c 上

Way2:

这里提供另一种证明的方式，但可能思维难度较大，可以看着玩玩：

在坐标系中，整个二次函数都处于一个运动的状态，这时研究二次函数顶点的运动轨迹颇难想象，如果不用描点作图的方法，还可以通过运动的相对性的视角来审视此题：既然让函数运动不好分析，则是坐标轴与函数产生相对运动，二次函数相对静止，A点一定会在平面上留下与原函数相反的运动痕迹，所以可以进一步得出结论：轨迹应为二次函数，且开口于原函数相反。而因为运动过程中y轴一定会有与原函数的对称轴的位置，此位置之前与之后A在原函数上是对称的，所以轨迹应该沿y轴对称。

二、过两个定点的含参二次函数。

在题目中，我们经常遇到“过两个定点”“经过定点…”这样的条件，然后要求x或y在某个区间内……的取值。其实这类问题的难度不大，分类讨论列方程就可以轻松解答。但它们的顶点的运动轨迹(最少我觉得)有研究的价值，以防日后不时之需。但在研究的过程中，我发现此问题有一定难度。

这里因为要过两个纵坐标和横坐标不等的定点，设为 B(x1,y1),C(x2,y2)B\left(x_1,y_1\right),C\left(x_2,y_2\right) ,而函数的对称轴不可能等于 x1+x22\frac{x_1+x_2}{2} 所以该函数的顶点纵坐标必然小于 x1+x22\frac{x_1+x_2}{2} ，也即顶点轨迹有双曲线且其中一条渐近线为直线 x=x1+x22x=\frac{x_1+x_2}{2} 。另外，因为任意三点即可确定一个唯一的二次函数图像，因此运动过程中不可能有两个不同顶点的横坐标相同，所以顶点的轨迹也必然是函数图像。若该双曲线函数是反比例（型）函数，则另一渐近线为 y=ny=n ，若此命题成立，则B,C两点的纵坐标相同，这种情况不存在，所以轨迹图像应为两支经过多方向平移的双钩函数（形如 y=kx+ax+b+cy=kx+\frac{a}{x+b}+c ）当然，如果直接描点作图也不难发现这一点。

如果此处直接推导轨迹的函数其实是可行的，不过推导的过程和得出的结论都十分复杂，所以这里采用逆推的手段（即先给出双钩的解析式，再反求二次函数的解析式，虽然最终的结果也不好看，但是思维过程会稍微简单一些）

结论1.2：若存在二次函数为常数y=p(x−ak−b)(x+ak−b)+2kx−kb+c(p≠0;a,b,k为常数)y=p\left(x-\sqrt{\frac{a}{k}}-b\right)\left(x+\sqrt{\frac{a}{k}}-b\right)+2kx-kb+c\;( p≠0;a,b,k为常数) ，则其顶点恒在函数 y=kx+ax+b+cy=kx+\frac{a}{x+b}+c 图像上

简略的证明：我们发现，二次函数所过的两个定点一定是轨迹双钩函数的两个极值点，即图中的B,C。通过非常复杂的计算（超纲），

得出双钩函数 y=kx+ax+b+cy=kx+\frac{a}{x+b}+c 的两个极值点的通式：C(ak+b,2kak+bk+c),B(−ak+b,−2kak+bk+c)C\left(\sqrt{\frac{a}{k}}+b,2k\sqrt{\frac{a}{k}}+bk+c\right),B\left(-\sqrt{\frac{a}{k}}+b,-2k\sqrt{\frac{a}{k}}+bk+c\right)

所以，过定点 (ak+b,2kak+bk+c),(−ak+b,−2kak+bk+c) \left(\sqrt{\frac{a}{k}}+b,2k\sqrt{\frac{a}{k}}+bk+c\right),\left(-\sqrt{\frac{a}{k}}+b,-2k\sqrt{\frac{a}{k}}+bk+c\right) 的二次函数的轨迹为：

y=p(x−ak−b)(x+ak−b)+2kx−kb+c(p≠0)y=p\left(x-\sqrt{\frac{a}{k}}-b\right)\left(x+\sqrt{\frac{a}{k}}-b\right)+2kx-kb+c\ \left(p\neq0\right)

所以该函数的顶点恒在函数 y=kx+ax+b+cy=kx+\frac{a}{x+b}+c 图像上。

如下图为即为一组k,a,b,c,p的取值以及所对应的函数图像（点C为顶点）

补记：其实第一个小节所谓的一次项含参，也可以理解为“过一个定点的含参二次函数”，它恒过点（0，c），这样可以和第二个小节统一一下，但是毕竟它的开口是定的，所以这样说还是不太严谨的。而后面的运动相对性的证明方法也是多多少少用到了过一个定点的这条性质的，所以这里说明一下。运动相对性的哪个方法不太好用语言描述，诸君只好自己理解一下啦，反正就是一个思想方法，让坐标系动起来。还有，如果真的遇到求含参二次函数和一次函数有______个交点时的取值范围问题，我还是建议联立方程移走含参项将动二次函数变为动一次函数来解题，这样题目会简单很多。

文中很多结论可以通过几何画板（geograbe）画图得出，减少了思维量，也减少了很多可能发生的思维路线错误，总之，几何画板是个好东西。

虽然不指望诸君能提出什么意见，但找找错总是可以的吧

谢谢观看（能看完您已经很不错了）